Терминът разпределение се използва в много и различни области на човешката дейност. Съществуват и известни смислови вариации в неговото значение в зависимост от областта, в която се ирзползва, а много често и от контекста. Основните области на приложение на думата разпределение са:
Математика / статистика – вероятностно разпределение (нормално, равномерно и др.)
Икономика / финанси – разпределение на ресурси, печалба, бюджет; най-голямо значение може би има преразпределението на приходите през данъчната система и бюджета
Логистика – разпределение на стоки
Информатика – разпределени системи, разпределение на задачи
Образование – разпределение на точки, часове, оценки
Организация на трудовите и образователните ресурси в една планова икономика - работа по разпределение
Разпределението като понятие в математиката има огромно значение, тъй като при научаването на базовите теоритични закономерности може да бъде описан всеки един процес в природата и в човешкото общество. Разпределението на случайна величина е основно понятие в теорията на вероятностите. В теорията на вероятностите и статистиката нормалното разпределение, наричано още разпределение на Гаус, e непрекъснато вероятностно разпределение, което често дава добро описание на случайни величини, групирани около средна стойност. Графиката на функцията на плътност на вероятността е с формата на камбана, с максимум в средната стойност, и е известна като функция на Гаус. Това разпределение е само един от многото научни термини, носещи името на Карл Фридрих Гаус. Той е използвал нормалното разпределение за анализ на астрономически данни и за да определи формулата за неговата функция на плътност на вероятността. Въпреки това Гаус не е бил първият, който е изследвал това разпределение или формулата за неговата функция на плътност – това е било направено по-рано от Абрахам дьо Моавър. Нормалното разпределение е често използвано за приблизително описание на променлива, която клони към групиране около средна стойност. В теорията на вероятностите, плътността на вероятността (или вероятностна плътност) на дадена непрекъсната произволна променлива е функция, чиято стойност в коя да е извадка (или точка) от пространството на елементарните събития (множеството от възможни стойности, които може да заеме произволната променлива) може да се интерпретира като относителна вероятност, че стойността на променливата ще се равнява на въпросната извадка. С други думи, докато абсолютната вероятност на непрекъсната произволна променлива да заеме коя да е определена стойност е 0 (тъй като има безкраен набор от възможни стойности), стойността на функцията на вероятностната плътност в две различни извадки може да се използва за определяне на това колко е по-вероятно произволната променлива да е равна на едната извадка спрямо другата. В по-тесен смисъл, плътността на вероятността се използва за уточняване на вероятността случайна величина да попадне в определен диапазон от стойности спрямо приемането на всяка една стойност. Тази вероятност се изразява чрез интеграл от функцията на вероятностната плътност, покриващ въпросния диапазон, тоест представлява площта под функцията на плътността, но над абсцисата и между най-малката и най-голямата стойност на диапазона. Оттук следва, че функцията на вероятностната плътност е неотрицателна навсякъде, а интегралът над нейното цяло пространство от събития е равен на 1. Например, височините на възрастните мъже в Съединените щати са приблизително нормално разпределени, със средна аритметична стойност около 70 инча (1.8 метра). Повечето мъже имат височина близка до средната, въпреки че малко число изключения имат височина значително над или под средната аритметична стойност. Хистограмата на височината на мъжете ще има формата на камбана, с все по-действителна форма, колкото повече данни са употребени.
Най-простият вид нормално разпределение е известен като стандартно нормално разпределение, описано чрез функцията за плътност на вероятността � ( � ) = 1 2 � � − 1 2 � 2 , {\displaystyle \phi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}},} Константата 1 / 2 �{\displaystyle \scriptstyle \ 1/{\sqrt {2\pi }}} в този израз ни осигурява че цялата площ под кривата ϕ(x) е равна на единица, а 1⁄2 в експонентата прави „широчината“ на кривата (мерена като половина на разстоянието между инфлексните точки на кривата) също равни на единица. В статистиката е традиционно тази функция да се отбелязва с гръцката буква ϕ (фи), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ƒ или p. В общия случай, нормалното разпределение се получава от поставянето на квадратна функция в степенния показател (точно както експоненциалното разпределение се получава от поставянето на линейна функция в степенния показател): � ( � ) = � � � 2 + � � + � . {\displaystyle f(x)=e^{ax^{2}+bx+c}.\,} Това води до класическата камбановидна форма (при условие че a < 0 така че квадратното уравнение е вдлъбнато). Забележете че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира „ширината“ на формата на камбаната, след това да нагласи b за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста x, и най-накрая да нагласи c да контролира „височината“ на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в R, трябва да изберем c така че ∫ − ∞ ∞ � ( � ) � � = 1 {\displaystyle \scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\ =\ 1} (което е възможно само когато a < 0). Вместо да използваме a, b, и c, много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна аритметична стойност μ = −b/(2a) и дисперсия σ2 = −1/(2a). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма, � ( � ) = 1 2 � � 2 � − ( � − � ) 2 2 � 2 = 1 � � ( � − � � ) . {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}={\tfrac {1}{\sigma }}\,\phi \!\left({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right).} Забележете че за стандартното нормално разпределение, μ = 0 и σ2 = 1. Последната част от уравнението по-горе показва че всяко друго нормално разпределение може да бъде разглеждано като версия на стандартното нормално разпределение, което е било разтеглено хоризонтално с фактор σ и след това транслирано надясно на разстояние μ. Така че, μ определя положението на централния максимум на формата на камбаната, а σ определя „ширината“ на формата на камбаната.
Дискретни разпределения 9.1. ЕКСПЕРИМЕНТ С ДВА ИЗХОДА (РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА БЕРНУЛИ) 9.2. БИНОМНО РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ 9.3. РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ПОАСОН 9.3.1. Разпределението на Поасон като граничен случай на биномното разпределение 9.3.2. Директен извод на разпределението на Поасон 9.3.3. Свойства на Поасоновото разпределение 9.1. Експеримент с два изхода (разпределение на Бернули) Най-простият възможен експеримент е този, чиято реализация води до едно от двете несъвместни събития и (например хвърляне на монета). Той е известен и като схема на Бернули (Bernouli). В такъв случай е в сила разложението: (1) Означаваме вероятността за "благоприятен изход" (нека за такъв приемем настъпването на събитието ) с: (2) Резултатът от един такъв експеримент може да се изрази чрез една случайна величина , която приема стойности 1 (0) в зависимост от това, дали е настъпило събитието . Статистическите характеристики на случайната величина са: (3) (4) Разпределението на тази случайна величина изглежда така: q p 0 1 Това е почти всичко, което може да се каже за тази най-проста случайна величина. Тя е интересна не толкова сама по себе си, колкото с това, че тя участвува в изграждането на всички важни дискретни разпределения. 9.2. Биномно разпределение Това е вероятностното разпределение на случайна величина, описваща всевъзможните резултати от -кратното повторение на експеримента с два изхода: (5) където е случайна величина, описваща единичен експеримент с два изхода. Нейното разпределение ни е вече известно. Важно допълнение тук е, че отделните единични експерименти се предполагат независими помежду си. Тогава вероятността за на брой благоприятни изходи (т.е. събитието в предишната схема) при -кратно повторение ще бъде: (6) Отделните членове имат такъв смисъл: е вероятността точно на брой реализации на единичния експеримент да дадат благоприятен изход, а е броят на всички възможни начини, по които може да се получат благоприятни изхода при на брой експерименти от този тип. е вероятностното разпределение на случайната величина (5). То се нарича биномно разпределение. При него е аргумент (това е броят на благоприятните изходи, който е независимата променлива), а и са параметри (това са съответно броят реализации на единичния експеримент с два изхода и вероятността за благоприятен изход при единична реализация). Очевидно: (7) така че вероятността (6) е правилно нормирана. Математическото очакване на биномното разпределение е: (8) Този резултат може да се пресметне и по-лесно - като използуваме вече известния ни израз за математическото очакване на единичния експеримент с два изхода (3) и правилото за математическото очакване на сума от независими случайни величини: (9) Съответно, за дисперсията на биномното разпределение имаме: (10) Като използуваме отново формулата за дисперсията на сума от независими случайни величини (ковариациите са нули), получаваме: (11) Ето как изглежда биномното разпределение: 0 1 2 3 4 5 То е дефинирано само за цели неотрицателни стойности на аргумента , има максимум при и е несиметрично (с коефициент на асиметрия ). От свойствата на биномното разпределение може да се направи едно важно наблюдение за връзката между честота и вероятност. Именно, да дефинираме честотата на събитието (благоприятният изход) в Бернулиеви опита като: . (12) Величината е случайна величина. Нейното математическо очакване е: (13) а дисперсията й е: (14) Какво се вижда оттук? · Първо, че математическото очакване на честотата съвпада с вероятността (която можем да предполагаме, че е неизвестна в един реален експеримент); · Второ - с нарастването на дисперсията на честотата намалява: . Тъй като в (14) , то при фиксирано , . Следователно, с нарастването на честотата на дадено събитие все повече се доближава до вероятността за това събитие. Това свойство на честотата популярно се нарича закон за големите числа (ние обаче знаем точната формулировка на този закон: за всяко число и за всяко съществува такова , че ). Ще споменем някои обобщения на биномното разпределение: Полиномното разпределение е непосредствено обобщение на биномното за експерименти с краен брой изходи (повече от два). Предполагайки, че е в сила разложението: (15) където събитията са несъвместни, и ако (16) то вероятността при опита всяко от събитията да се случи пъти сe дава с: (17) (На това разпределение се подчиняват например игрите със зар).
По-сложно е т.нар. хипергеометрично разпределение, което описва вероятността от извадени топки (бели и черни) да са бели и - черни, ако и са всичките бели и черни топки и е общият брой топки в урната. Това е изваждане без повторение. В този случай последователните опити не са независими, тъй като те зависят от предисторията (така например цветът на последната топка е еднозначно известен от предишните резултати). Тази зависимост може да се усили, ако всеки път, когато извадим топка от определен цвят, добавим в урната фиксиран брой топки от същия вид. Това е разпределението на Пойа, което има отношение към възникването на епидемии - тогава появяването на един случай увеличава вероятността за подобни заболявания. Нека да се върнем към биномното разпределение и да разгледаме граничните случаи. Те са два: · при фиксирана вероятност за благоприятен изход при единичния експеримент, ако броят на неговите повторения нараства неограничено, биномното разпределение клони към нормално разпределение (разпределение на Гаус (Gauss)); · ако с нарастването на вероятността за благоприятен изход намалява така, че , то биномното разпределение при клони към разпределението на Поасон (Poisson). 9.3. Разпределение на Поасон 9.3.1. Разпределението на Поасон като граничен случай на биномното разпределение Нека означим: (1) Предполагаме, че е фиксирано. Тогава: (2) При първият множител в (2) е , третият и четвъртият клонят всеки към единица, а вторият клони към експоненциална функция. Следователно: (3) 9.3.2. Директен извод на разпределението на Поасон Този подход се основава на конкретен физически модел и по тази причина изяснява по-добре свойствата на Поасоновото разпределение от гледна точка на физическия му смисъл. Нека имаме радиоактивен източник с множество радиоактивни ядра, които се разпадат спонтанно. При това са в сила следните предположения: 1. Отделните събития са независими във времето (т.е. наличието на разпадане в момента не зависи от предисторията); 2. Вероятността за отделно събитие (разпадане) за малък интервал от време е пропорционална на дължината на интервала: (4) 3. Вероятността за повече от едно събитие (разпадане) в малък интервал от време е 0. Ние търсим вероятността в интервала време да се случат на брой разпадания. За целта ще образуваме и и ще получим диференциално уравнение за при . Първо търсим . За да има нула разпадания в интервала трябва да няма разпадания както в интервала , така и в интервала . Съгласно първото условие тези събития са независими, следователно: (5) (напомняме, че e вероятността за неразпадане в интервал с дължина ). Следователно: (6) При : (7) Общото решение на (7) е: (8) където е произволна константа. За да се определи стойността на , е необходимо едно начално условие. Логично е да предпоставим: (9) т.е. вероятността за неразпадане в интервал с дължина нула е равна на тази на достоверното събитие. Тогава, окончателно: (10) Това всъщност е известният закон за радиоактивното разпадане. Нека сега , т.е. търсим вероятността за точно едно разпадане в интервала . Има две възможности: едно разпадане в и нула разпадания в или обратното. Тези сложни събития са несъвместни, така че общата вероятност е сума от техните вероятности: (11) Следователно: (12) Това уравнение има решение: (13) Това е вероятността за точно едно разпадане в интервала . Горното разглеждане е напълно приложимо и за общия случай (): (14) тъй като според третото предположение на модела повече от едно разпадане в интервала не е възможно. Следователно: (15) При , това диференциално уравнение има решение: (16) което е всъщност Поасоновото разпределение.
Разглеждайки тази картина статично, (т.е. като анализираме броя на наблюдаваните разпадания за даден фиксиран интервал от време), ние виждаме, че има смисъл на среден брой разпадания за дадения интервал, а e вероятността да получим на брой разпадания, ако средният им брой е. Оттук се вижда и физическият смисъл на параметъра m; това е средната скорост на разпадане на радиоактивните ядра. 9.3.3. Свойства на Поасоновото разпределение Разпределението на Поасон (3) е дефинирано за всички цели неотрицателни стойности на своя аргумент . То зависи от един параметър l, който е реално неотрицателно число. Нормировка: (17) откъдето се вижда, че разпределението, дефинирано чрез (3), е нормирано коректно. Средна стойност: (18) Дисперсия: (19) Развиваме израза за квадрата в скобите. Вторият и третият членове са от познат вид. Първият е: (20) Следователно: (21) Забележка: Дисперсията може да се пресметне и като се използува резултата (9.11), за дисперсията на биномното разпределение, тъй като Поасоновото разпределение е всъщност един негов частен случай. Именно: (22) Асиметрия: (23) От написаното се вижда, че: · параметърът l действително има смисъл на средна стойност, което оправдава названието му при втория подход (среден брой разпадания); · дисперсията на Поасоновото разпределение е равна на средната му стойност; · асиметрията на Поасоновото разпределение е винаги положителна; с увеличаването на l тя намалява, т.е. разпределението става по-симетрично. Поасоновото разпределение се получава от биномното при голям брой повторения на експеримент с малка вероятност за благоприятен изход; поради това то е известно още като разпределение на редките събития. Радиоактивното разпадане е вероятно най-известният пример за явление, подчиняващо се на Поасоновото разпределение. Има обаче още много други такива явления: · броят на научните открития, направени неколкократно при независими изследвания; · броят на звездите в определен ъглов диапазон на небесния свод, · и др.
СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ (СЛ.В.) И РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА СЛ.В. Определение. Случайната величина (или случайна променлива) X в зависимост от изхода на даден опит взима само една стойност от своето дефиниционно множество Dх, с някаква вероятност P. Напр. ако X приема стойност x1 с вероятност 0.2, то записваме P(X=x1)=0,2. Четем “Вероятността X да е равно на x1 е 0,2” Сл.в. Х се нарича дискретна сл.в., ако приема по случаен начин стойности от Dх , което се състои от краен или безкраен брой стойности, такива че могат да се номерират (изброимо множество). Сл.в. Х се нарича непрекъсната сл.в., ако приема по случаен начин стойности от Dх , което е краен или безкраен интервал от числовата ос. Сл.в. се означават с големи латински букви X, Y, Z ...или гръцките букви x, h, ..., а техните стойности – с малки латински букви x, y, z… Закон за разпределение на сл.в. – това е описание на връзката между всяка възможна стойност на сл.в. и съответната й вероятност. При x xÏ D вероятността в общия случай се счита за 0.
ДИСКРЕТНИ СЛ.В. И РАЗПРЕДЕЛЕНИЯ За дискретните сл.в. законът на разпределение е обикновено таблица, формула или графика (полигон, начупена линия). Ето примерна таблица на разпределение на дискретната сл.в. ξ (четем „кси”) с крайно дефиниционно множество Dх ={ x1, x2, …, xn } и съответните вероятности. Тъй като ξ може да приема всички стойности от Dх, то сумата от вероятностите е 1: 2 , В по-общия случай дискретната сл.в. може да има и изброим брой стойности, т.е. нейната таблица на разпределение има вида: Пример 4.1. Проверете дали следните таблици задават закони за разпределение на сл.в.: а) б) Решение: а) Тук 4 1 i i p = å = 0.2+0.3+0.1+0.4=1, това е закон за разпределение. б) 4 1 i i p = å = 0.2+0.2+0.4+0.3 ≠1, т.е. това не е закон за разпределение. Пример 4.2. Представете графично закона на разпределение от Пример 4.1. pi 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 2345 Пример 4.3. В лотария се разиграват 100 билета. От тях има една награда от 50 лв и 10 награди от 1 лв. Представете таблично закона на разпределение на сл.в., описваща стойността на възможната печалба на участник с един лотариен билет. ξ x1 x2 … xn 1 1 n i i p = å = P(ξ=xi) p1 p2 … pn ξ x1 x2 … xn ... 1 1, 0 1 i i i p p ¥ = å = ££ P(ξ=xi) p1 p2 … pn ... ξ 2 3 4 5 P(ξ=xi) 0.2 0.3 0.1 0.4 ξ 0 1 2 3 P(ξ=xi) 0.2 0.2 0.4 0.3 3 Решение: Дефиниционното множество са възможните стойности на печалбата, т.е. Dх ={ 50, 1, 0 }. Вероятността да се спечелят 50 лв е 1 на 100, т.е. 0.01; вероятността да се спечели 1 лв е 0.1, останалото е за 0 лв. Имаме таблицата: Проверка: Сумата на вероятностите е: 0.89 + 0.1 + 0.01 = 1.
ФУНКЦИЯ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ (ф.р.) НА СЛ.В. Определение. Функцията F x( ), която показва за всяка стойност на xÎ -¥ ¥ ( ,) вероятността сл.в. ξ да приеме стойност по-малка от x, се нарича функция на разпределение на сл.в. ξ и се бележи с () ( ) i x x i F xP x p x < = <= å . От това определение следва, че ф.р. F x( ) на сл.в. x с нарастване на x акумулира вероятностите и за дискретна сл.в. се изчислява така: 1 1 12 12 2 3 123 3 4 0, , ( ) , , ... x x p x xx F x p p x xx p p p x xx ì < ï £ £ ï ï = í + ££ ï + + ££ ï ïî От това представяне могат да се получат следните Свойства на ф.р. 1) Fx P x () ( ) 0 = <³ x , 2) F x( ) е монотоннорастяща функция 3) Pa b Fb Fa ( ) () () ££ = - x Пример 4.4. Даден е законът на разпределение на сл.в. ξ с долната таблица. Да се намери ф.р. и да се начертае нейната графика. Решение: Имаме Dх ={1, 4, 5, 7}. За всяка стойност на ( ,) X x D Î Ì -¥ ¥ последователно изчисляваме F x( ): 1. При x <1, Fx P ( ) ( 1) 0 = <= x . 2. При 1 4 £ £x , (напр. за x = 2 ) имаме Fx P P ( ) ( 4) ( 1) 0.4 = x < = == x . 3. При 4 5 £ £x , (напр. за x = 4.33 ) имаме 1 2 Fx p P P p p ( ) ( 5) ( 1) ( 4) 0.4 0.1 0.5 = < = =+ = = + = + = x x x . ξ 0 1 50 P(ξ=xi) 0.89 0.1 0.01 ξ 1 4 5 7 P(ξ=xi) 0.4 0.1 0.3 0.2 4 4. При 5 7 £ £x , Fx p P P P ( ) ( 7) ( 1) ( 4) ( 5) 0.5 0.3 0.8 = < = =+ = + = = + = x xx x . 5. При 7 £ x , Fx P P P P ( ) ( 1) ( 4) ( 5) ( 7) 0.8 0.2 1 = =+ = + = + = = + = x xxx . Виждаме, че ф.р. на дискретна сл.в. е дефинирана за цялата реална ос. Ф.р. е прекъсната в точките от дефиниционното множество, като големините на отскоците са равни на стойностите на съответните вероятности в тези точки. Равномерно разпределение Това е случаят на равни вероятности. Пример 4.5. Хвърляме зар. Нека сл.в. ξ е броят паднали се точки. Намерете закона на разпределение. Постройте ф.р. Решение: Имаме 6 възможности, т.е. Dх ={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Законът на разпределение е: 0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 123456 x pi ξ 1 2 3 4 5 6 P(ξ=xi) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 x F(x) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 Геометрично разпределение Провежда се серия от независими опити, при всеки от които събитието А настъпва с една и съща вероятност р. Опитите продължават до първата поява на А. Пример 4.6. Стрелец стреля, докато улучи целта. При всеки изстрел вероятността да улучи е 0.6. Да се намери законът на разпределение на случайната величина ξ – брой на изстреляните напразно патрони. Решение: Щом успехът е с вероятност p=0.6, то неуспехът (не улучва) е с вероятност q=1-0.6=0.4. Ако ξ =0, то няма напразно изстреляни патрони, т.е. стрелецът уцелва от първия път – вероятността P[ξ=0]=p=0.6. При ξ=1 стрелецът има един напразен изстрел и улучва с втория патрон, т.е. P[ξ=1]=p.q=0.6*0.4=0.24. Аналогично P[ξ=2]=p.q2=0.6*0.42 =0.24*0.4=0.096, и т.н. Получаваме таблица на разпределението: ξ 0 1 2 3 4 5 … pi p p.q p.q2 p.q3 p.q4 p.q5 … pi 0.6 0.24 0.096 0.0384 0.01536 0.0061 Биномно разпределение – схема на Бернули Редица от n независими опита, при които събитието А настъпва с една и съща вероятност PA p ( ) = (и следователно PA p q () 1 = - = ) се нарича схема на Бернули и се бележи с (n, p). С u се означава броят на настъпване на събитието A (или брой “успехи”). Вероятността да настъпят точно k “успехи”, т.е. точно k настъпвания на събитието А се бележи с P (k) n . Изпълнени са равенствата: P k C p q k n k k n k n n ( ) = , = 0,1,..., - x F(x) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 å = £ £ = k2 k k n n P k k P k 1 1 2 ( u ) ( ) - вероятността за брой “успехи” от 1 k до 2 k , ( 1) 1 n P q u ³ =- - вероятност за поне един “успех”. Пример 4.7. Монета се хвърля 4 пъти. Да се намери разпределението на сл.в. ξ – брой паднали се гербове. Да се направи графика на разпределението и на функцията на разпределение. Решение: Вероятностите се пресмятат по формулата на Бернули. Тук n=4, Събитието е A=”Пада се герб”, т.е. p=q=0.5. ( ) 0 4 4 4 4 P Cq (0) 0.5 0.0625 == = , ( ) 1 3 4 4 4 P C pq (1) 4 0.5 0.25 == = , ( ) 2 22 4 4 4 P C pq (2) 6 0.5 0.375 = == , ( ) 3 3 4 4 4 P C pq (3) 4 0.5 0.25 == = , ( ) 4 4 4 4 4 P Cp (4) 0.5 0.0625 == = ξ 0 1 2 3 4 pi 0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625 Биномно разпределение 0 0,1 0,2 0,3 0,4 012345 x F(x) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1 2 3 4 5 7 Задача. Известно е, че 10% от лекарствата на фармацевтична фирма не покриват европейските стандарти. Проверяват се случайно взети 8 опаковки лекарства на фирмата. Да се намери разпределението на сл.в. ξ – брой стандартни лекарства от избраните. Упътване. Използвайте формулите за биномно разпределение.
ЧИСЛОВИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА ДИСКРЕТНИ СЛУЧАЙНИ
ВЕЛИЧИНИ
Математическо очакване
на дискретна сл.в. x å
=
= n i
i i E x p
1
(x ) n n = x p + x p +...+ x p 1 1 2 2
Дисперсия на дискретна
сл.в. x
å( ) =
= - n
i
i i D x E p
1
2 (x ) (x ) или
( )
2
1
2 ( ) å . ( ) =
= - n
i
D x xi pi E x
Стандартно отклонение
(средно квадратично
отклонение)
s (x ) x = D
Мода j Mo = x , за което се получава максималната
вероятност
Някои основни дискретни разпределения и числовите им
характеристики
Разпределение
Формула за
изчисляване на
вероятността
p P{ k} k = x =
Математическо
очакване E(x)
Дисперсия D(x)
Равномерно
n
pk
1 = , k = 1,2, … , n
2
n +1
12
1 2
n -
Геометрично
0
Поасоновото разпределение се определя лесно като граница на биномни разпределения. Средното и дисперсията му съвпадат. Формула Това разпределение носи името на откривателя си Симеон Дени Поасон (1781 – 1840) и е публикувано през 1838 година. За дискретната случайна променлива � {\displaystyle X} се казва, че има разпределение на Поасон с параметър � > 0 {\displaystyle \lambda >0}, ако приема само цели неотрицателни стойности с вероятност[2]: � ( � ) = � ( � = � ) = e − � � � � ! , � = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle p(n)=P(X=n)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}\,,n=0,1,2,...} където: e е основата на натуралния логаритъм (2.718281828...) n! е факториел на n. �{\displaystyle \lambda } е положително число и често се нарича интензитет Разпределение на Поасон във физиката Разпределението на Поасон � � ( � , � ) {\displaystyle P_{\lambda }(n,T)\,} дава вероятността за наблюдаване на n дискретни събития за интервал от време T, когато средният брой събития за единица време е λ, предполагайки тези събития са независими. � � ( � , � ) = e − � � ( � � ) � � ! {\displaystyle P_{\lambda }(n,T)=\mathrm {e} ^{-\lambda T}{\frac {(\lambda T)^{n}}{n!}}\,} Приложения Поасоновото разпределение намира приложение при събития, описвани чрез случайни дискретни величини – като брой на пристигащи самолети на дадено летище за определен период от време, брой на самоубийствата за една година. То се среща често във физиката при работа с лазери и радиоактивното разпадане. Напоследък се използва и в телекомуникациите.
Успешно създаденият или спонтанно сформиран екип от съвместими, уважаващи един друг специалисти в процеса на работа в екип и неформална комуникация, достатъчно бързо се превръща в сплотен жизнеспособен екип с обща цел, единна система от ценностни ориентации и, като правило, с високо професионално ниво. По време на работа, във ваканция, в съвместни неформални събития, членовете на екипа се опознават добре, учат се взаимно да се уважават и отчитат силните и слабите страни на всеки. Всеизвестно е, че няма двама абсолютно абсолютно еднакви хора. Имаме различни вътрешни енергии, сила на характера, способности и склонности за различни непрофесионални дейности, за комуникация, за изкуство и т.н. Личностните способности на различни членове на екипа в крайна сметка приемат формата на неофициален екипен ресурс, който той целенасочено използва в различни ситуации. Така в екипът, въз основа на доброволчеството и общото съгласие, възниква неформално разпределение между членове на екипа на различни ролеви функции за решаване на различни ситуации в посока, благоприятна за екипа. За типични, често повтарящи се ситуации в екипа се формират стереотипи за съответните разпределения на ролите. При спонтанни ситуации екипът бързо определя най-подходящото разпределение на ролите според принципа „ти ще го направиш най-добре“.